数学で微分を使って問題を解く際、関数が複雑であるほど微分の手順が少しずつ難しくなります。ここでは、関数z = (x – y)(x + y) に対して、x(t) = e^t および y(t) = e^-t のときに、dz/dt を求める方法を解説します。
1. 与えられた関数の確認
最初に、問題で与えられた関数を確認しましょう。z = (x – y)(x + y) です。この関数は積の形になっているので、積の微分法則(積の法則)を使って微分を行います。
次に、x(t) = e^t と y(t) = e^-t という関数も与えられていますので、これらを使って具体的な計算を行います。
2. 積の微分法則を使う
z = (x – y)(x + y) の微分を求めるためには、積の微分法則を使います。積の微分法則は次のように表されます。
d/dt [u(t) * v(t)] = u(t) * d/dt [v(t)] + v(t) * d/dt [u(t)]
ここでは、u(t) = (x – y) および v(t) = (x + y) として、微分を行います。
3. 各部分の微分を計算する
まず、u(t) = (x – y) の微分を求めます。u(t) の微分は次のように計算できます。
du/dt = dx/dt – dy/dt
次に、v(t) = (x + y) の微分を求めます。v(t) の微分は次のようになります。
dv/dt = dx/dt + dy/dt
これらの微分を求めたら、積の微分法則を適用して dz/dt を計算します。
4. x(t) と y(t) の微分を計算する
次に、x(t) = e^t および y(t) = e^-t の微分をそれぞれ求めます。
dx/dt = d/dt [e^t] = e^t
dy/dt = d/dt [e^-t] = -e^-t
これで、dx/dt と dy/dt が求まりました。
5. dz/dt の最終的な計算
最終的に、積の法則に従い、dz/dt を計算します。ここでは、u(t) = (x – y) と v(t) = (x + y) の微分が求まったので、以下の式を用いて dz/dt を求めます。
dz/dt = (x – y) * (dx/dt + dy/dt) + (x + y) * (dx/dt – dy/dt)
これに実際の値を代入して計算します。
6. まとめ
このようにして、z = (x – y)(x + y) の微分を求めることができます。x(t) = e^t および y(t) = e^-t の場合も同様の手順で微分できます。まずは積の法則を使用し、各部分の微分を順を追って計算することで、最終的な解を得ることができます。
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