ラグランジュの未定乗数法による制約付き最適化問題の解法【数学数Ⅲ】

制約付き最適化問題では、ラグランジュの未定乗数法を使って解くことができます。この方法を使うことで、制約条件を満たす中で目的関数を最大化または最小化することができます。今回は、数学数Ⅲでよく出題される問題を例に、ラグランジュの未定乗数法を使った解法をご紹介します。

1. 問題1の設定と解法

問題1は、次の制約付き最適化問題です。

max(x,y) x + 3y subject to x² + y² = 1

ラグランジュ関数L(x, y, λ)は以下のように表されます。

L(x, y, λ) = x + 3y + λ(1 - x² - y²)

この式を使って、最適解を求めるためのステップは次の通りです。

詳細な計算過程を通じて解法を確認できます。

問題2は、次の制約付き最適化問題です。

min(x,y) px + qy subject to x^a * y^(1-a) = 1

ここで、a, p, qは定数です。ラグランジュ関数L(x, y, λ)は次のようになります。

L(x, y, λ) = px + qy + λ(1 - x^a * y^(1-a))

この問題もラグランジュの未定乗数法で解きます。まず、ラグランジュ関数の偏微分を行い、連立方程式を解きます。解を求めた後、目的関数を最小化することを確認します。

ラグランジュの未定乗数法は、制約条件を満たす最適解を求めるための強力なツールです。この方法は、制約条件を数式として表し、それを目的関数に組み込むことで、最適化問題を解くことを可能にします。

未定乗数法は、制約付き最適化問題を効率よく解くための基本的な方法で、特に数学や経済学の分野で多く用いられています。

ラグランジュの未定乗数法を使うことで、制約付き最適化問題を解くことができます。問題1と問題2では、それぞれのラグランジュ関数を定義し、偏微分を用いて最適解を求めました。この方法を使うことで、難しい問題でも効率よく解くことができます。