円の接線の方程式は、高校数学において重要なトピックの一つです。この問題では、円X² + Y² = 1²上の任意の点(p, q)における接線の方程式を求めます。この記事では、接線の方程式px + qy = r²がどのように導かれるのか、その証明方法をわかりやすく解説します。
円の接線の方程式とは
円X² + Y² = r²が与えられたとき、点(p, q)における接線の方程式は、次のように表されます。
px + qy = r²
この式は、円上の任意の点で接線がどのように位置するかを示すために用いられます。接線とは、円において一点で接する直線のことであり、この直線の方程式を求めることが目標です。
接線の方程式を求める方法
接線の方程式を求めるには、まず円の方程式と接線が交わる点の座標を使います。円の方程式は、X² + Y² = 1²という形で、半径rが1の円を表しています。この円の上の任意の点(p, q)における接線の方程式を求めるためには、接線の傾きとその位置を求める必要があります。
接線は円の半径と垂直な直線であるため、接線の傾きは円の中心を通る直線の傾きと逆符号で負の逆数です。これを利用して、接線の方程式を導出します。
証明の過程
1. 円の方程式：X² + Y² = r²
2. 点(p, q)における接線の方程式は、点(p, q)を通り、円の半径に垂直であることから、接線の方程式は次のように表されます。
px + qy = r²
ここで、pとqは円の上の任意の点の座標であり、rは円の半径です。
まとめ
円X² + Y² = 1²上の任意の点(p, q)における接線の方程式px + qy = r²は、円の方程式と接線の幾何学的な関係を基に導かれます。この問題を解くためには、円の中心と接線の傾きの関係を理解し、接線の方程式を求める手法を身につけることが重要です。
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