数学の問題で、a+b+c=2のとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求める問題が出題されることがあります。この問題は、代数的な手法を使って解くことができます。本記事では、この問題をどのように解くかを、具体的な手順を交えて解説していきます。
問題の整理と解法の方向性
まず、問題を整理しましょう。与えられた式は、a+b+c=2 という条件です。このとき、a^2+b^2+c^2の最小値を求める問題ですが、このタイプの問題では、まず式をうまく変形して、最小化の条件を導き出す必要があります。
問題を解くためには、変数a、b、cに関する式を簡単にすることが重要です。まずは二乗の和a^2+b^2+c^2を、別の式を使って変形します。
式の変形と最小値の条件
a^2+b^2+c^2という式を最小化するためには、まずa+b+c=2という条件から、a^2+b^2+c^2を展開してみましょう。
まず、(a+b+c)^2を展開すると、a^2+b^2+c^2 + 2ab + 2bc + 2ca という式が得られます。この式を使ってa^2+b^2+c^2を表現すると、a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 – 2(ab+bc+ca) となります。ここで、a+b+c=2なので、(a+b+c)^2は4になります。したがって、a^2+b^2+c^2 = 4 – 2(ab+bc+ca)となります。
最小値を求めるための条件
次に、ab+bc+caの項を最小化することが最小値を求めるための重要なポイントです。最小値を求めるためには、a、b、cの値が等しい場合に最小値が達成されることが多いです。
ここでは、a=b=cと仮定して計算を進めてみます。a=b=cとすると、a+b+c=2の条件から、3a=2となり、a=2/3となります。このとき、a^2+b^2+c^2は、3a^2 = 3(2/3)^2 = 3×4/9 = 4/3 となり、a^2+b^2+c^2の最小値は4/3となります。
最小値が達成される理由
なぜa=b=cのときに最小値が達成されるのでしょうか？その理由は、数式を利用した最小化問題において、対称性が重要な役割を果たすからです。a、b、cが等しいとき、すべての変数が均等に分配され、相互作用を最小限に抑えるため、最小値が得られます。
さらに、異なる値を試してみると、a、b、cのいずれかが他の値と大きく異なる場合、a^2+b^2+c^2が大きくなり、最小値を下回ることが確認できます。
まとめ: 最小値の解法
この問題では、a+b+c=2という条件のもとでa^2+b^2+c^2の最小値を求める方法を解説しました。最小値はa=b=cのときに達成され、最終的な答えは4/3でした。問題を解く際のポイントは、式の変形と対称性の活用です。これらの手法を使うことで、数学の問題を効率よく解くことができます。
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