nとkの整数の組を求める問題:二項係数を用いた解法

高校数学

この問題は、二項係数を使って与えられた式が成り立つ整数の組(n, k)を求める問題です。式は次の通りです。

(n+2)C(k+1) = 2{nC(k-1) + nC(k+1)}

ここで、nは2以上20以下の整数、kは1以上(n-1)以下の整数です。この問題を解くには、二項係数の性質を使って式を展開し、整数の組を求めます。

1. 二項係数の基礎

二項係数は、n個の異なる物からk個を選ぶ組み合わせの数を表すもので、次のように表されます。

nCk = n! / (k! * (n-k)!)

この式を使って、二項係数の値を計算することができます。また、二項係数の加法や乗法に関する性質も覚えておくと解法がスムーズになります。

2. 問題の式を展開する

問題の式を展開すると、以下のような形になります。

(n+2)C(k+1) = 2(nC(k-1) + nC(k+1))

この式を両辺展開し、同じ項を整理していきます。具体的な計算手順を実行すると、nとkに対する条件が見えてきます。

3. 条件に合わせて整数の組を求める

次に、nを2から20まで変化させ、kを1から(n-1)まで変化させながら、式が成り立つ組み合わせを探します。計算を繰り返すことで、条件を満たす整数の組を見つけることができます。

例えば、n = 6、k = 3の場合、式が成り立つかどうかを計算してみます。

4. 結果の解釈とまとめ

最終的に、条件を満たすnとkの組み合わせが得られます。この方法を使って、式が成立する整数の組を求めることができます。数式の展開や計算を繰り返し行い、問題の答えを得ることができます。

この問題では、計算力と二項係数の理解が必要です。実際に手を動かして計算を行うことで、問題を解く力を養うことができます。

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