数学Iで登場する因数分解の問題の一つに、a^3 – b^3 – c^3 – 3abcを因数分解する問題があります。このような因数分解は、パターンを覚えておくことでスムーズに解けるようになります。この記事では、この問題を自力で解ける方法を解説します。
因数分解の基本的な考え方
まず、因数分解を行う前に、因数分解の基本的なルールを思い出してみましょう。通常、三項式や四項式の因数分解では、共通因数を見つけたり、式を特殊な形に変形したりすることが求められます。この問題もその一つで、ある形を利用して因数分解を進めます。
具体的な方法に入る前に、まずa^3 – b^3 – c^3 – 3abcの形をよく観察しましょう。
式を理解する
問題の式a^3 – b^3 – c^3 – 3abcは、実は有名な三項式の因数分解の形です。この式は、a^3 – (b + c)^3の形に似ています。ここで、b^3とc^3を一緒に扱うことがポイントです。
まず、式の中にあるb^3とc^3をまとめて、(b + c)^3という形に変形します。これにより、問題がシンプルになります。
因数分解のステップ
実際に因数分解を行う手順は次の通りです。
- 最初にa^3 – (b + c)^3の形に変形します。
- 次に、(b + c)^3の展開を使って式を整理します。
- 最後に、a^3 – (b + c)^3をa – (b + c)の形で因数分解します。
この手順を踏むことで、問題を因数分解することができます。
具体的な解法
具体的に解いてみましょう。
a^3 - b^3 - c^3 - 3abc = a^3 - (b + c)^3 = (a - (b + c))((a)^2 + a(b + c) + (b + c)^2)このように、a^3 – b^3 – c^3 – 3abcは、(a – (b + c))と((a)^2 + a(b + c) + (b + c)^2)という形で因数分解できます。
解法のポイント
この問題の解法では、式の形をしっかりと観察することが大切です。特に、三項式や四項式の因数分解では、よく似た形を利用して解くことが多いので、似た問題をたくさん解いてパターンを覚えておくと自力で解けるようになります。
まとめ
a^3 – b^3 – c^3 – 3abcの因数分解は、式をうまく変形して、適切な因数分解のパターンを見つけることで解けます。ポイントは、b^3とc^3を一緒に扱うことと、(a^3 – (b + c)^3)という形に変形することです。このような因数分解のテクニックを覚えておくと、他の問題にも応用できます。
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