チビシェフの不等式を用いた確率計算の誤解と正しい解釈

この問題では、チビシェフの不等式を用いて偏差値が60以上となる確率を求める方法に関する誤解が含まれています。最初に不等式を適用した際、確率が1以上になったと感じるかもしれませんが、このような結果は誤りです。ここでは、チビシェフの不等式を用いた計算方法とその正しい解釈について詳しく解説します。

チビシェフの不等式とは？

チビシェフの不等式は、確率変数が平均からどれだけ離れているかの上限を示すために使用されます。特に、分布の形状が分からない場合でも、その確率変数が特定の範囲に収束する確率を上限として求めることができます。式は次のようになります。

P(|X – μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²

問題文の誤解とその理由

問題文では、偏差値が60以上となる確率を求める際に「1以上になる」と感じた理由として、計算結果が期待通りにならなかったことが挙げられます。これが起こる理由は、チビシェフの不等式を用いた場合、片側だけを考える必要があるためです。具体的には、両側確率を考慮すると1を超えることはありません。誤って両側の確率をそのまま合計すると、確率が1を超えてしまいます。

正しいアプローチ

この問題を解くためには、チビシェフの不等式を片側確率で適用することが重要です。片側確率を求める場合、式は次のようになります。

P(X ≥ μ + kσ) ≤ 1/k²

この場合、確率は0.5以上となる範囲に収束することが確認できます。確率の上限を間違って解釈しないように、問題文の条件に基づき、片側の範囲を考慮するようにしましょう。

まとめ

チビシェフの不等式を用いた確率計算では、両側確率を一度に考えると誤った結果になることがあります。片側だけを適用し、正しい範囲で確率を求めることが重要です。確率が1を超えないよう、計算式に注意しながら解くことを心がけましょう。