微分方程式 y''-(1+y')^(1/2)=0 の解法とその解析

この問題では、微分方程式 y”-(1+y’)^(1/2)=0 の解法を求める方法を説明します。具体的な解法のステップを順を追って解説し、最終的に与えられた解答に到達するまでを詳細に説明します。

1. 微分方程式の整理

まず、与えられた微分方程式は次の形です。

 y'' - (1 + y')^(1/2) = 0

この式は、y”（2階の微分）とy’（1階の微分）を含んでいます。まずは、この式を変形して解く方法を考えます。

y’をvとおきます。これにより、y”はv’（vの微分）になります。すると、元の微分方程式は次のように変形できます。

 v' - (1 + v)^(1/2) = 0

この式を解くためには、変数分離法を用います。

変数分離法を用いることで、式を積分可能な形にします。

 dv / (1 + v)^(1/2) = dx

次に、両辺を積分して解を求めます。

積分後の式を解くと、以下のような解に到達します。

 v = C1 + x^2 / 4 + x * C1^2 + (x^2 - 12x) / 3

これが解の一部です。最終的な解は、元の問題に合わせてyを再求めると、y = C2 + (C1 * x^2 + x * C1^2 + (x^2 – 12x) / 3) / 4 という形になります。

この微分方程式の解法は、変数分離法を用いて解くことができます。最終的な解に到達するための手順を理解することで、微分方程式の解法のスキルを向上させることができます。ぜひ、具体的な手順をしっかりと理解し、他の問題にも適用してみてください。