f(x) ≧ g(x) を満たすための条件：aの値を求める方法

与えられた関数 f(x) = x² – 4ax + a と g(x) = -x² – 8ax + 3a に対して、f(x) ≧ g(x) を満たすための a の条件を求める問題は、数式を整理し、条件式に適用することが必要です。この記事では、この問題の解き方を詳しく解説します。

問題の整理

問題では、f(x) と g(x) の差が 0 以上である、つまり f(x) – g(x) ≧ 0 となる条件を求めることが求められています。まずは f(x) – g(x) を求めましょう。

f(x) – g(x) = (x² – 4ax + a) – (-x² – 8ax + 3a) = x² – 4ax + a + x² + 8ax – 3a = 2x² + 4ax – 2a

上記の式を整理すると、次のようになります。

f(x) – g(x) = 2x² + 4ax – 2a ≧ 0

この式が満たされる条件を求めるためには、まず x の範囲における関数の挙動を調べる必要があります。与えられた範囲 1 ≦ x ≦ 2 について考えます。

「f(x) – g(x) ≧ 0 の最大値 ≧ 0」と言い換えられる理由は、関数のグラフが x の範囲内で最小値を持つため、その最小値が 0 以上であれば、関数が全体として 0 以上であると判定できるからです。このため、x の範囲で最大値が 0 以上であれば、条件式が成立します。

次に、2x² + 4ax – 2a ≧ 0 の条件を満たす a の範囲を求めます。この式における a の値を調整することで、f(x) ≧ g(x) を満たすようになります。具体的な計算を進めると、a の範囲を求めることができます。

与えられた関数 f(x) と g(x) の差 f(x) – g(x) ≧ 0 を満たすための a の条件は、関数の最小値が 0 以上であることを確認することで求めることができます。このように、数式を整理し、条件式に適用することで解答が得られます。