1/{√(k)+√(k+1)} = √(k+1)-√k になる理由とその理論

この質問では、式「1/{√(k)+√(k+1)} = √(k+1)-√k」の成り立ちについて説明します。どうしてこの式が成立するのか、また「√a と √b では残念ながら成り立たない理由」についても触れます。

1. 分母の有理化を行う

式「1/{√(k)+√(k+1)}」を簡単にするために、分母を有理化する必要があります。有理化とは、分母にある無理数（√）を取り除く操作です。分母を有理化するために、分母と分子に「√(k+1)-√k」を掛け算します。

2. 有理化の計算

分母と分子に「√(k+1)-√k」を掛けると、次のように計算できます：
1/{√(k)+√(k+1)} × (√(k+1)-√k)/(√(k+1)-√k) = (√(k+1)-√k)/[(√(k)+√(k+1)) × (√(k+1)-√k)]
これにより、分母は計算を進めると数値が整い、式が簡単になります。

3. 分母の計算結果

分母を計算すると、以下のようになります：
(√(k+1))² – (√k)² = (k+1) – k = 1
これにより、分母が1になります。したがって、式は次のように簡単になります：
1/{√(k)+√(k+1)} = √(k+1)-√k

4. √a と √b の場合の違い

なぜ「√a と √b」ではこのような計算が成り立たないのかというと、√a と √b の差を簡単に有理化することができないからです。√a と √b は異なる数であり、その差を直接簡単に計算することができません。そのため、有理化の操作をうまく適用することができないのです。

5. まとめ

この式「1/{√(k)+√(k+1)} = √(k+1)-√k」は、分母を有理化することによって簡単に解けます。一方、√a と √b の場合ではこの方法が成り立たないため、別のアプローチが必要となります。理論的には、無理数の計算において有理化を適切に利用することが重要です。