この問題では、関数f(x) = log(x+2)に関して、ダランベールの収束半径rを求め、さらにその関数の無限マクローリン展開が成り立つ範囲を求める方法について解説します。
関数の定義と条件
まず、与えられた関数はf(x) = log(x+2)です。xの範囲はx > -2であり、この関数が定義される範囲です。ログ関数の収束半径を求める際には、まずその関数がどのように振る舞うのかを確認することが重要です。
ダランベールの収束半径
ダランベールの収束半径rは、関数の無限級数展開が収束する範囲を示します。無限級数展開において収束半径rを求めるために、ダランベールの収束定理を用います。この定理は、無限級数の一般項の比が収束する範囲を調べるために使います。
まず、関数f(x)のマクローリン展開（x=0周りでのテイラー展開）を求める必要があります。マクローリン展開は次のように表されます。
f(x) = f(0) + f'(0) x + f”(0) x^2 / 2! + f”'(0) x^3 / 3! + …
ここで、関数f(x) = log(x+2)の各階の導関数を求めていきます。
無限マクローリン展開の範囲
f(x) = log(x+2)のマクローリン展開を求めると、無限級数が得られます。その無限級数が収束する範囲は、収束半径rを利用して決まります。収束半径rを求めるためには、ダランベールの収束定理に従い、一般項の比を計算し、収束する範囲を決定します。
結論
この問題では、ダランベールの収束半径rを求め、その後無限マクローリン展開の収束範囲を特定するために、関数の導関数を計算し、収束半径を求めます。その結果、無限級数が収束する範囲はx > -2となることがわかります。これにより、関数f(x) = log(x+2)の無限マクローリン展開が成り立つ範囲が明確になります。
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