この記事では、二次方程式x^2+3x+m=0が異なる2つの実数解を持つための定数mの値の範囲を求める方法を解説します。中学三年生向けの数学Ⅰの問題です。
問題の整理
与えられた二次方程式はx^2+3x+m=0です。この方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を求めるために、判別式を使用します。
判別式を使った解法
二次方程式ax^2+bx+c=0の解の性質は、判別式Δ = b^2 – 4acを使って判定できます。
今回の方程式x^2 + 3x + m = 0では、a = 1, b = 3, c = mとなります。したがって、判別式Δは次のように計算できます。
Δ = 3^2 – 4(1)(m) = 9 – 4m
解が異なる2つの実数解を持つための条件
二次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式Δが正である必要があります。すなわち、Δ > 0となる条件を求めます。
Δ = 9 – 4m > 0
この不等式を解くと、
9 > 4m
m < 9/4
よって、m < 9/4が異なる2つの実数解を持つための条件となります。
結論
この問題におけるmの範囲は、m < 9/4、つまりmが9/4より小さい場合に、二次方程式x^2+3x+m=0は異なる2つの実数解を持つことが分かりました。
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