高校数学の極限問題：lim x→∞f'(x)=Aからlim x→∞f(x)を求める方法

この問題は、微分の極限を用いて与えられた関数の挙動を理解する問題です。与えられた式lim x→∞f'(x)=Aをもとに、lim x→∞f(x)を求める方法について、ステップごとに詳しく解説していきます。

1. 問題の整理

まず与えられた情報を整理しましょう。式はlim x→∞f'(x)=Aです。これは、関数f(x)の微分が無限大のxにおいてAという定数に収束することを意味しています。

微分と積分は逆操作です。この問題では、f'(x)が無限大のxにおいてAに収束することが与えられているので、f(x)の挙動を積分によって推測できます。具体的には、f'(x)＝Aが成り立つとき、f(x)は直線的に増加または減少します。

f'(x)＝Aという式から、f(x)を求めるために積分を行います。積分すると、f(x) = Ax + C となります。ここでCは積分定数であり、初期条件によって決定されます。

次に、lim x→∞f(x)を求めます。f(x) = Ax + C という式において、xが無限大に近づくと、Cは定数なので無視でき、主にAxが重要となります。そのため、lim x→∞f(x) = ∞ または -∞ となり、Aの符号によって方向が決まります。

この問題を解くためには、与えられた微分の情報をもとに積分して、関数f(x)の挙動を求めることが重要です。最終的にlim x→∞f(x)が無限大または負の無限大に収束することが分かりました。