中学数学でよく扱われる、最大公約数や最小公倍数を使った問題では、和が与えられた条件を満たす自然数を求めることがあります。特に、「最大公約数が3、最小公倍数が270である２つの自然数の和が57である」という問題について、解説に出てきた「3x + 3y = 57」の式がなぜ現れるのか、その理由を解説します。
問題の条件を整理する
まず、問題の条件を整理してみましょう。２つの自然数について、最大公約数が3、最小公倍数が270であるとあります。この条件から、２つの数は次のように表せます。
a = 3x、b = 3y（ここでxとyは互いに素な自然数）
この形にすると、最大公約数が3であるという条件を満たします。次に、最小公倍数が270であることを考えます。
最小公倍数を求める
最小公倍数の公式は、次のように求められます。
最小公倍数(a, b) = (a × b) / 最大公約数(a, b)
ここで、a = 3x、b = 3y、最大公約数(a, b) = 3なので、最小公倍数は次のように計算できます。
最小公倍数 = (3x × 3y) / 3 = 9xy
これが270であるとすると、次の式が得られます。
9xy = 270
これを解くと、xy = 30 となります。
和が57になる自然数を求める
次に、和が57であるという条件を考えます。a + b = 57 であり、a = 3x、b = 3y ですから。
3x + 3y = 57
これを簡単にすると、x + y = 19 となります。
ここで、xとyの積が30であり、かつx + y = 19 である自然数の組み合わせを探すと、x = 4、y = 15 または x = 15、y = 4 であることが分かります。
まとめ
「最大公約数が3、最小公倍数が270である２つの自然数の和が57である」という問題を解くには、与えられた条件から数式を立て、最大公約数や最小公倍数の性質を活用することが重要です。解説に出てきた「3x + 3y = 57」の式は、単に和を求めるための式であり、xとyを使って問題を解くために必要な式変形でした。このように、式を適切に変形していくことで、問題が解けることが理解できるでしょう。
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