xe^xのべき級数展開を求める方法とその理解

数学のべき級数展開は関数の近似や解析に広く使われます。ここでは、xe^xのべき級数展開について詳しく解説します。この問題に対して、e^xのマクローリン展開を使う方法と、間違いを避けるために注意すべき点について考察します。

1. べき級数展開の基礎

べき級数展開は、関数を無限級数で表現する方法です。関数f(x)がx=0で連続かつ微分可能であれば、その関数のべき級数展開は次のように表されます。

f(x) = Σ (f^(n)(0)/n!) * x^n

e^xのべき級数展開は非常に有名です。これは、マクローリン展開（x=0での展開）を用いると次のように求めることができます。

e^x = Σ (1/n!) * x^n

xe^xのべき級数展開を求めるためには、e^xのべき級数にxを掛け算すればよいです。すなわち、x * Σ (1/n!) * x^n = Σ (1/n!) * x^(n+1) となります。

これを整理すると、次のような形になります。

xe^x = Σ (1/n!) * x^(n+1)

質問では、式「Σx^n/(n-1)!」が登場しました。この式にはn-1!と書かれていますが、e^xのべき級数展開を用いた場合、係数は1/n!であり、これとは少し異なります。

したがって、与えられた式は適切な形ではないかもしれません。正しいべき級数展開は「Σ (1/n!) * x^(n+1)」です。

べき級数展開を求める際は、公式に正確に従い、各項がどのように展開されるかをしっかり確認しましょう。途中で式を簡略化することもありますが、公式に従って正確に求めることが重要です。

xe^xのべき級数展開は、e^xのべき級数展開にxを掛けることで得られます。正しい式は「Σ (1/n!) * x^(n+1)」です。式を変形する際には、公式を正確に使用することが大切です。