被覆写像と閉写像の関係: 被覆写像は常に閉写像か？

被覆写像が常に閉写像であるかどうかについて、これは一般的には成立しないことを示す必要があります。この記事では、被覆写像と閉写像の定義を明確にし、それらの違いを理解するための解説を行います。

被覆写像とは？

まず、被覆写像の定義について確認しましょう。被覆写像とは、位相空間の間で連続的に対応する写像で、各点の近傍がその空間内の一部であるようなものを指します。具体的には、ある空間の任意の点に対して、その点を取り巻く近傍が他の空間で「被覆」されるような写像です。

次に、閉写像の定義について見ていきます。閉写像とは、ある空間から別の空間への写像で、その写像が閉集合を閉集合に写す性質を持っていることを指します。具体的には、写像後の集合が閉集合であるなら、その集合の逆像もまた閉集合であるという特徴を持ちます。

実際には、被覆写像が常に閉写像であるわけではありません。一般的には、被覆写像が閉写像であるためには、特定の条件が必要です。例えば、ある種の位相空間では被覆写像が閉写像でない場合もあります。このことを理解するには、具体的な空間と写像の例を考えることが有用です。

例えば、円周のような曲線上の空間での被覆写像を考えると、その写像が閉写像でない場合もあります。このようなケースでは、写像された集合が必ずしも閉集合を保つわけではないことが分かります。

結論として、被覆写像は常に閉写像ではないということがわかりました。被覆写像が閉写像となるためには、追加的な条件が必要です。これを理解するためには、位相空間の性質を詳細に考察することが重要です。