積分問題の解法：y = √(x² + 1) の積分を求める

積分の問題では、関数を積分して面積や累積量を求めることが求められます。この記事では、「y = √(x² + 1)」の積分を解く方法について詳しく解説します。特に、積分の過程をステップバイステップで示し、理解を深める手助けをします。

積分問題の設定

問題で与えられている関数は y = √(x² + 1) です。この関数の積分を求めることが求められています。まずは、この関数を積分するための方法を確認しましょう。

y = √(x² + 1) の積分を解くために、まずは式をもう少し単純化してみます。この積分は、標準的な積分テクニックである置換積分を使って解くことができます。積分式は次のようになります。

∫√(x² + 1) dx

置換積分の方法を使うと、積分が簡単に解けます。まず、次の置換を行います。

u = x, du = dx

この置換により、積分式は次のように変わります。

∫√(u² + 1) du

この積分は、一般的な積分の形に合致し、解を求めることができます。

積分の結果として、最終的に求める解は、√(x² + 1) に関連する関数になります。具体的には、次のような式に収束します。

∫√(x² + 1) dx = (1/2) x √(x² + 1) + (1/2) ln |x + √(x² + 1)| + C

ここで、Cは積分定数です。

y = √(x² + 1) の積分を求めるためには、置換積分を使って解を求める方法が有効です。最終的に、積分結果として、関数の形と積分定数を求めることができます。この手法は、他の積分問題にも応用可能です。