y=2x²+4とx=2を囲む面積と接線の求め方

この問題では、放物線 y = 2x² + 4 と垂直線 x = 2 で囲まれる面積を求め、その接線の方程式を求めます。以下では、その手順を詳しく解説します。

1. 放物線 y = 2x² + 4 と垂直線 x = 2 の交点を求める

まず、放物線と垂直線の交点を求めます。放物線の方程式に x = 2 を代入して、y の値を求めます。

y = 2(2)² + 4 = 2 × 4 + 4 = 12

したがって、交点は (2, 12) となります。

次に、x = 2 と放物線 y = 2x² + 4 で囲まれる面積を求めます。この面積は、放物線と x 軸との間の面積を求め、その中から x = 2 の直線によって切り取られた部分の面積を差し引くことで求めます。

まず、x = 0 から x = 2 までの範囲での面積を求めます。

面積 = ∫[0, 2] (2x² + 4) dx

この積分を計算すると、

∫ (2x² + 4) dx = (2/3)x³ + 4x

上限 x = 2 を代入すると、

[(2/3)(2)³ + 4(2)] – [(2/3)(0)³ + 4(0)] = (2/3)(8) + 8 = 16/3 + 8 = 40/3

したがって、面積は 40/3 平方単位です。

次に、点 (2, 12) における接線の方程式を求めます。まず、y = 2x² + 4 の導関数を求め、x = 2 の位置での傾きを計算します。

y’ = 4x

x = 2 のとき、y’ = 4(2) = 8 です。

接線の傾きは 8 なので、接線の方程式は点 (2, 12) を通り、傾き 8 を持つ直線として求めることができます。

y – 12 = 8(x – 2)

これを整理すると、接線の方程式は y = 8x – 4 となります。

今回の問題では、放物線 y = 2x² + 4 と垂直線 x = 2 で囲まれる面積は 40/3 平方単位、接線の方程式は y = 8x – 4 であることがわかりました。これらの計算を通じて、面積の求め方と接線の方程式を求める方法について理解を深めることができます。