数学における不等式の変形は、計算や問題解決の重要な手法です。特に、式変形において不等式を使った変形の途中式は理解する上で重要です。この記事では、「e^x > (1/2)x^2 + x + 1 > (1/2)x^2」という不等式から、どのようにして「0 < x/(e^x) < 2/x」という形に変形できるのかを詳細に解説します。
ステップ1: 不等式の整理
まず、与えられた不等式「e^x > (1/2)x^2 + x + 1 > (1/2)x^2」の両辺を整理していきます。最初に、中央の式「(1/2)x^2 + x + 1」を両辺に対して取り引きます。これにより、次のような不等式が得られます。
e^x – (1/2)x^2 > x + 1 > (1/2)x^2
これにより、xの項と定数項が整理され、次に進む準備が整いました。
ステップ2: x/(e^x) の導出
次に、e^xとx/(e^x)の関係を利用して式を変形します。両辺をx/(e^x)で割ることで、次の式を得ます。
0 < x/(e^x) < 2/x
この式は、x/(e^x)が正の範囲にあり、さらにその範囲が0より大きく、2/xより小さいことを示しています。
ステップ3: 2/xの変形と不等式の適用
さらに、2/xの部分についても注目します。この項は、xが正の値を取る場合、xの大きさに反比例して減少します。このため、0 < x/(e^x) < 2/xの不等式が成り立つことが分かります。これにより、xの範囲内でのこの不等式の有効性が確認できます。
まとめ
「e^x > (1/2)x^2 + x + 1 > (1/2)x^2」という不等式から「0 < x/(e^x) < 2/x」を導出するための過程は、幾つかのステップを踏むことで実現できます。これにより、xの範囲における重要な数学的関係を理解することができ、不等式を利用した解析や証明に活用できます。
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