exp(it)/cosh(t) の極の位数が1になる理由の解説

大学数学における問題で、exp(it)/cosh(t) の極の位数が1になる理由について、理解を深めるための解説を行います。テイラー展開を使った場合に分母に t^2 や t^3 が現れるにもかかわらず、なぜ極の位数が1になるのか、詳しく説明します。

exp(it)/cosh(t) の構造

まず、exp(it) と cosh(t) の関数がどのように構造化されているかを理解することが重要です。exp(it) は、複素指数関数であり、cosh(t) は双曲線関数です。この2つの関数が組み合わさった式において、分母である cosh(t) の零点は、双曲線関数の性質に基づいています。

テイラー展開を使うと、分母に t^2 や t^3 といった項が現れますが、これらは真性特異点ではなく、実際には一位の極になります。これは、cosh(t) が t=0 で双曲線関数の特性に基づき、極の位数が1であるためです。

cosh(t) のテイラー展開を使って、t=0 における挙動を詳しく見てみましょう。exp(it)/cosh(t) の分母は、t=0 で簡単な零点を持ち、これにより極の位数が1になることが分かります。t=0 の周りで、分母の近似が t^2 を含み、これが一位の極を形成します。

exp(it)/cosh(t) の極の位数が1になる理由は、cosh(t) の特性に基づいており、真性特異点ではなく一位の極を形成するためです。分母に現れる t^2 や t^3 は、単なる近似であり、極の位数を決定する上で重要な要素です。