なぜ3次関数の変曲点は2回微分で求められるのか？

高校数学の微分法で、3次関数の変曲点を求める際に2回微分を使う理由について解説します。変曲点は、関数の凹凸が変わる場所を指しますが、この点をどのように求めるか、またなぜ2回微分が必要なのかを理解しましょう。

変曲点とは？

変曲点は、関数のグラフが凹から凸、または凸から凹に変わる場所を指します。数学的には、変曲点では関数の2回微分がゼロになることが特徴です。これは、2回微分がゼロでない限り、グラフの凹凸は変わらないからです。

微分を使って変曲点を求める方法

まず、関数を1回微分して、関数の傾きを求めます。その後、もう一度微分することで、2回微分を得ることができます。この2回微分の結果がゼロになる場所が変曲点です。なぜなら、変曲点では、関数の凹凸が変わるため、2回微分の値がゼロになるからです。

3次関数の場合、1回目の微分で得られるのは、直線の傾きに相当する一次関数です。さらにその一次関数を微分することで得られるのが2回微分で、これは2次関数となります。この2回微分がゼロになる点が、変曲点であるわけです。

例を使って確認しよう

例えば、3次関数f(x) = x³ – 3x² + 2x + 1の場合を考えます。まず、1回微分するとf'(x) = 3x² – 6x + 2となります。さらにこれを微分すると、2回微分はf”(x) = 6x – 6となります。ここで、f”(x) = 0とすると、x = 1が解となります。したがって、x = 1の場所が変曲点であることが分かります。

なぜ2回微分が必要なのか？

1回微分では、関数の傾きや変化の速さは分かりますが、凹凸の変化、つまり「形」の変化まではわかりません。2回微分を使うことで、関数のグラフがどのように凹凸を持っているのかを知ることができ、変曲点を正確に求めることができます。2回微分は、グラフの「曲がり具合」を表しているため、変曲点を特定するのに不可欠です。

まとめ

3次関数の変曲点は、2回微分がゼロになる場所として求めることができます。2回微分を使う理由は、関数の凹凸の変化を理解するためです。数学的な視点でこの手法を理解することで、変曲点を求める際に役立つでしょう。