数学Iでよく出る食塩水の問題は、濃度計算を理解するために非常に重要です。この問題では、10%の食塩水に食塩を加えて、指定された濃度にするために必要な食塩の量を求めます。ここでは、問題を解くための立式方法とその解き方をステップごとに説明します。
1. 問題の理解
問題文にある「10%の濃度の食塩水が1000gある。これに食塩をx g加えて、20%以上25%以下の食塩水をつくりたい。」を整理します。食塩水1000gの10%は、元々含まれている食塩の量です。加える食塩の量xがわかれば、最終的に新しい濃度範囲に収めることができます。
まず最初に、元々の食塩水に含まれる食塩の質量を求めます。それは1000gの10%なので、100gの食塩が含まれていることがわかります。
2. 濃度の計算式
食塩水に食塩を加えると、食塩水の質量が増え、その結果濃度が変わります。新しい濃度は以下の式で求められます。
新しい濃度 = (元々の食塩の量 + 加えた食塩の量) / (元々の食塩水の質量 + 加えた食塩の質量)
この式において、元々の食塩の量は100g、元々の食塩水の質量は1000gです。加える食塩の量はxgです。
3. 立式と不等式
この問題では、食塩水の濃度が20%以上25%以下である必要があります。よって、次の2つの不等式を立てることができます。
20% ≤ (100 + x) / (1000 + x) ≤ 25%
この不等式を解くことで、加える食塩の量xが求まります。
4. 不等式を解く
まず、20% ≤ (100 + x) / (1000 + x) を解きます。両辺に(1000 + x)を掛けて、計算を進めます。
20% = 0.2なので、次の式を得ます。
0.2 × (1000 + x) ≥ 100 + x
これを解くと、x ≥ 250gとなります。
次に、(100 + x) / (1000 + x) ≤ 25%を解きます。25% = 0.25なので、次の式を得ます。
0.25 × (1000 + x) ≥ 100 + x
これを解くと、x ≤ 500gとなります。
5. 結論
したがって、加える食塩の量xは、250g以上500g以下でなければなりません。これで、食塩水の濃度が20%以上25%以下になるように食塩を加える量を求めることができました。
まとめ
この問題では、食塩水の濃度を変えるために必要な食塩の量を求めるために、不等式を使って立式し、解いていきました。食塩水の問題では、濃度の計算式を理解し、必要な量を求めることが重要です。
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