重積分の積分範囲の求め方: D={(x,y) | x≦y≦x^(1/3)} の計算

この問題では、重積分の積分範囲を求める方法を解説します。まず、問題文に与えられた範囲 D={(x,y) | x≦y≦x^(1/3)} を理解し、その範囲で積分を行うための適切な方法を考えます。

1. 与えられた領域の理解

問題の積分範囲 D は、(x, y) の組み合わせで x ≦ y ≦ x^(1/3) という条件が与えられています。この範囲を理解するためには、まずそれぞれの条件が意味するところを把握することが重要です。

ここで、x と y の関係を示す不等式が2つあります。まず、x ≦ y の条件があり、次に y ≦ x^(1/3) という条件です。これにより、y が x より大きく、かつ x^(1/3) より小さい範囲に制約されていることが分かります。

この積分範囲を視覚的に理解するためには、まずグラフを描いてみると良いでしょう。x軸を横軸、y軸を縦軸にとり、x = y および y = x^(1/3) のグラフを描いてみます。

このグラフを描くことで、積分範囲の領域がどこにあるかを確認できます。y = x^(1/3) の曲線は、x が増加するにつれて緩やかに上昇するカーブになります。一方で、y = x の直線は、x と y が同じ値であることを示します。この2つの関係が交わる範囲が積分範囲です。

積分範囲を明確にするために、積分をxに関して外積分、yに関して内積分で設定します。x の範囲は0から1まで、y の範囲は x から x^(1/3) までです。これを基に、積分の順序を決定します。

つまり、x の範囲は 0 ≦ x ≦ 1 となり、その中で y の範囲は x ≦ y ≦ x^(1/3) となります。

今回の問題では、重積分の積分範囲を求める方法を解説しました。積分範囲 D={(x,y) | x≦y≦x^(1/3)} の理解を深め、視覚的に図示することで範囲がどこにあるのかを明確にしました。積分範囲を適切に設定することで、後の計算がスムーズに進みます。