F(α) = ∫₀^∞ (e^(-αx) sin x) / x dx の連続性の証明

この問題では、F(α) = ∫₀^∞ (e^(-αx) sin x) / x dx (α ≥ 0) が連続関数であることを証明する方法を説明します。連続性の証明を進めるには、定積分の性質や収束条件を考慮する必要があります。これから、具体的な証明方法を順を追って解説していきます。

1. F(α) の定義と前提条件

まず、F(α) の定義に注目します。この関数は、指数関数と三角関数の積を含む積分です。したがって、αの値によってこの積分が収束するかどうかが重要なポイントとなります。今回の問題では、α ≥ 0 であるため、収束条件に特に注意する必要があります。

F(α) の積分が収束するかを確認するために、まずは積分区間を分けて考えます。積分区間を [0, ∞) とした場合、x = 0 における挙動と x → ∞ における挙動をそれぞれ確認します。

まず、x → ∞ での挙動を確認しましょう。指数関数 e^(-αx) が急激に減衰するため、x が大きくなると積分値は小さくなります。したがって、x → ∞ においてこの積分は収束します。

次に、x = 0 における挙動を確認します。ここでは、積分の中の sin x / x 部分に注目する必要があります。これは有名なリミットを用いて評価できます。実際、lim(x → 0) (sin x) / x = 1 であるため、x が 0 に近づくときの積分部分は問題なく収束します。

これにより、x = 0 における特別な問題はないことが分かります。

次に、F(α) の連続性を確認します。α の値が変化する場合、積分に対する影響がどのように現れるかを考える必要があります。定積分において、積分区間が固定されている場合、被積分関数が連続であれば積分関数も連続であるという性質を利用できます。

今回の問題では、関数 e^(-αx) sin x / x は α が連続的に変化しても連続であるため、F(α) もまた α に関して連続であることが確認できます。

以上から、F(α) = ∫₀^∞ (e^(-αx) sin x) / x dx は、α ≥ 0 の範囲で連続関数であることが示されました。積分の収束性や連続性の証明を通じて、関数の性質を確認することができました。この結果により、α の変化に対しても F(α) は連続的に変化することが分かりました。