lim(x→0+0)x^sin(x)の極限値の求め方と解法

大学の微分積分でよく出る問題の一つに、lim(x→0+0)x^sin(x)の極限値を求める問題があります。この問題では、異なる解法を用いて答えに辿り着くことができます。この記事では、ロピタルの定理を用いる解法と、別のアプローチであるログ関数を利用した解法について詳しく解説します。

問題の整理と基本アプローチ

まず、問題で与えられている式は「lim(x→0+0)x^sin(x)」です。これは、xの0に近づくときのx^sin(x)の値を求める問題です。直感的に、この問題はxのべき乗のように見えますが、sin(x)が含まれているため、単純な計算では求めにくいです。

一般的なアプローチは、まず式をログを使って変形し、無限に小さいxでの挙動を把握することです。さらに、この問題においては、ロピタルの定理を使っても解くことが可能です。

ロピタルの定理を使う場合、まず以下の形に式を変形します。

f(x) = x^sin(x) = e^(sin(x) * log(x))

ここで、sin(x) * log(x)の極限を求めます。xが0に近づくとき、sin(x)も0に近づくため、log(x)が負の無限大に発散することがわかります。したがって、この部分は0に収束します。

その結果、lim(x→0+0) sin(x) * log(x) = 0 となり、元の式はe^0 = 1となります。

別の方法は、直接ログ関数を使って解く方法です。この方法では、次のように変形します。

lim(x→0+0) x^sin(x) = lim(x→0+0) e^(sin(x) * log(x))

log(x)がxが0に近づくときにどのように挙動するかを確認し、同様にsin(x)が0に近づくことから、この部分も0に収束することがわかります。結果として、lim(x→0+0) e^(0) = 1となり、答えが得られます。

質問者は途中で「sin(x) * log(x) = 0」として解を進めていますが、この式自体は適切な変形です。sin(x)が0に近づくとき、log(x)が負の無限大に発散しても、その積が0に収束するため、この式を用いるアプローチは正しいです。

また、e^(sin(x) * log(x))の変形を用いることで、非常に直感的に解を求めることができます。途中式が適切かどうかを心配せず、むしろログの使い方や無限小の扱いに注力することが重要です。

lim(x→0+0)x^sin(x)の極限値を求める問題では、ロピタルの定理を使った解法と、ログを使った解法の2つのアプローチが有効です。どちらの方法でも、最終的に得られる答えは1です。質問者の解法は適切であり、ログ関数を使ったアプローチは非常に有効な手法です。