微分方程式 yy’’-2(y’)^2-yy’=0 の解法と一般解の求め方

微分方程式 yy’’-2(y’)^2-yy’=0 の解法に関する質問です。問題では、p=dy/dx とおいて解を進めた結果、dp/dy -2p/y=1 となり、その後の一般解の求め方について質問があります。ここでは、その過程を順を追って解説します。

1. 微分方程式の整理

まず、与えられた微分方程式を整理します。

yy’’ – 2(y’)² – yy’ = 0

この式において、p = y’ と定義します。したがって、y’’ は dp/dx となります。この変数変換を使用することで、式が簡略化されます。

p = dy/dx を使って式を変換します。最初の微分方程式は次のように書き換えられます。

yy’’ – 2(y’)² – yy’ = 0

これを p = y’ に代入し、式をさらに整理します。

y(dp/dy) – 2p² – yp = 0

次に、この式を一階線形微分方程式として解いていきます。

式を再整理して、dp/dy – 2p/y = 1 の形に持ち込みます。この形の微分方程式は標準的な一階線形微分方程式ですので、定積分を使用して解を求めます。

一階線形微分方程式の一般解は次のように求められます。

p = y(Cy – 1)

ここで、C は積分定数です。この式が最終的な解となります。

この一般解から、p = y’ として元の微分方程式に戻すことができます。これにより、元の微分方程式 yy’’ – 2(y’)² – yy’ = 0 の解を得ることができるのです。

この微分方程式の解法は、変数変換を行って一階線形微分方程式に変換し、積分によって解を求める方法です。最終的な解は p = y(Cy – 1) となり、このようにして微分方程式の解を得ることができます。