大学数学の問題: f(x,y) = (2x^2 - y^2)e^(x+y) のマクローリン展開におけるx^3y^3の係数を求める方法

大学数学の問題で出題された、関数f(x, y) = (2x^2 – y^2)e^(x + y) のマクローリン展開におけるx^3y^3の係数を求める方法を解説します。この記事では、この問題を解くための基本的なアプローチを説明します。

1. 問題設定

与えられた関数はf(x, y) = (2x^2 – y^2)e^(x + y)です。この関数のマクローリン展開を行い、x^3y^3の項の係数を求めます。まず、マクローリン展開の基本をおさらいしましょう。

マクローリン展開は、ある関数f(x, y)をx = 0, y = 0を中心に展開したテイラー級数の一形態です。具体的には、関数を多項式として近似するために、各項の導関数を計算し、n階の導関数をx, yの0で評価します。このようにして、関数を近似する多項式を得ることができます。

まず、関数f(x, y) = (2x^2 – y^2)e^(x + y)のマクローリン展開を行います。e^(x + y)をテイラー展開すると、次のようになります。

e^(x + y) = 1 + (x + y) + (x + y)^2/2! + (x + y)^3/3! + …

次に、この展開を (2x^2 – y^2) と掛け合わせます。

最初に、展開されたe^(x + y)と(2x^2 – y^2)の各項を掛け合わせ、x^3y^3の項が現れるような項を抽出します。具体的には、(x + y)^n の展開からx^3y^3の項を得るためには、x^3とy^3を含む項を取り出します。

計算の結果、x^3y^3の項の係数は以下のように求められます。

係数 = (2x^2)(y^3) の項から出るため、結果として係数は2/6となります。

以上の手順を踏んで、f(x, y) = (2x^2 – y^2)e^(x + y) のマクローリン展開におけるx^3y^3の係数は2/6 = 1/3であると求められました。