量子力学において、コヒーレント状態の波動関数の表現方法は非常に重要なテーマです。特に、状態|α⟩をx, p表示で表現するためには、いくつかの計算手法があります。この記事では、コヒーレント状態|α⟩における波動関数⟨x|α⟩と⟨p|α⟩の求め方を解説します。
1. コヒーレント状態の定義
コヒーレント状態|α⟩は、以下のように定義されます。
|α⟩ ≡ exp(αa† − α* a) |0⟩、ここでa†は生成演算子、aは消滅演算子、αは複素数です。この状態は、一般的にガウス型の波動関数であり、量子力学における重要な概念の1つです。
2. 波動関数⟨x|α⟩の求め方
波動関数⟨x|α⟩は、位置空間でのコヒーレント状態を表現します。まず、|α⟩に対して位置演算子xの固有状態⟨x|を作用させます。この際、生成演算子a†と消滅演算子aをx表現で記述する必要があります。
具体的には、⟨x|α⟩は次のように表されます：
⟨x|α⟩ = (1/√π) exp[-(x – x₀)²/2], ここでx₀はコヒーレント状態の平均位置です。この波動関数はガウス関数に似ており、コヒーレント状態の特徴を示します。
3. 波動関数⟨p|α⟩の求め方
次に、⟨p|α⟩は運動量空間でのコヒーレント状態を表現します。位置空間での波動関数をFourier変換することによって、運動量空間での波動関数を得ることができます。
⟨p|α⟩ = (1/√2πħ) ∫ e^(-ipx/ħ) ⟨x|α⟩ dx、この式を用いて、⟨p|α⟩を求めることができます。具体的には、
⟨p|α⟩ = exp[-(p – p₀)²/2], ここでp₀はコヒーレント状態の平均運動量です。
4. x, p表示の波動関数の解釈と利用
これらの波動関数⟨x|α⟩と⟨p|α⟩は、コヒーレント状態がどのように空間内で広がり、運動するかを理解するために重要です。特に、コヒーレント状態は最小不確定性状態であり、位置と運動量の不確定性関係において最適なバランスを保っています。これらの波動関数は、量子光学や量子情報処理などの分野で非常に重要です。
まとめ
コヒーレント状態|α⟩の波動関数⟨x|α⟩と⟨p|α⟩を求める過程は、位置と運動量に関する量子力学的な理解を深めるために非常に重要です。これらの波動関数は、ガウス関数のような形をしており、コヒーレント状態の特徴である最小不確定性を反映しています。量子力学におけるコヒーレント状態の解析は、量子光学や量子技術の発展に貢献しています。
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