今回の問題では、二重積分の計算に関する問題に取り組みます。範囲として与えられている式や条件をもとに、どのように積分を行うかを理解しましょう。
1. 問題の設定と理解
問題で与えられている式は、an = n(1 + k/n^3)^(1/2) であり、Kn = {(x, y) | −n ≦ x ≦ n, −n ≦ y ≦ an} といった範囲で重積分を行います。ここで、k は正の定数であり、n は 1, 2, 3, … に対応する整数です。目標は、この範囲で y に関する重積分を求めることです。
2. 積分範囲と関数の設定
まず、積分する範囲 Kn を明確に理解しましょう。Kn の範囲は、x が −n から n まで、y が −n から an まで変化する領域です。an の式から、y の上限は an であり、この範囲を指定して二重積分を行います。
したがって、重積分の式は次のように書けます。
∫∫ Kn y dx dy
3. 重積分の実行
積分の順番として、まず x に関する積分を行い、その後に y に関する積分を行います。x に関する積分は、範囲 −n ≦ x ≦ n の間で計算します。次に、y に関する積分は、範囲 −n ≦ y ≦ an となります。
4. 結果の計算
重積分を実行すると、最終的に与えられた範囲に対する積分値が求まります。積分計算には代数的な手順と微積分を利用しますが、最も重要な点は、積分範囲と関数の設定を正確に行うことです。
5. まとめとポイント
この問題では、範囲の設定と二重積分の順番に注意しながら解くことが重要です。積分の順番をしっかりと理解し、適切な範囲で計算を進めることで、正確な解を得ることができます。問題設定が難しいと感じた場合は、まず範囲をしっかりと理解し、積分を段階的に解いていくことがポイントです。
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