本記事では、複素数の積分経路と極に関する問題を解説します。特に、円|z-i|=2に沿った周回積分と、積分式∫z/[(z-1)(z-2)]dzにおける極の位置について説明します。
1. 積分経路Cの設定
積分経路Cは、円|z-i|=2という形で与えられています。この円は、複素平面上で中心が点i、半径が2の円です。反時計回りに積分する場合、この円周上の各点が積分経路となります。この積分経路に沿った周回積分を行います。
円C上の点は、z = i + 2e^(iθ) (θ ∈ [0, 2π])としてパラメトリックに表すことができます。これにより、積分経路を明確に定義し、積分を実行する準備が整います。
2. 積分式の極の位置
与えられた積分式は、∫z/[(z-1)(z-2)]dzです。この式における極は、分母の(z-1)(z-2)の部分に由来します。すなわち、z = 1とz = 2が極となります。
これらの点は複素平面上のz = 1とz = 2であり、円|z-i|=2の内側に位置するかどうかを確認する必要があります。点z = iからの距離が2より小さい場合、その点は積分経路内に含まれます。
3. 円の軌跡と積分経路上の極の図示
積分経路Cと極を複素平面に図示する際には、円Cが中心iで半径2の円であることを示し、z = 1およびz = 2が円Cの内外どちらにあるかを確認します。
z = 1とz = 2の位置関係を視覚的に示すために、これらの点を描き、円Cの内部と外部を区別します。これにより、積分の範囲とその影響を理解できます。
4. 計算方法と積分の解法
積分の解法には、留数定理を使用するのが一般的です。積分経路C上にある極の位置に注目し、その周りで積分を行います。もし、z = 1が円内に含まれていれば、その極の留数を計算し、同様にz = 2の留数を計算します。積分を行うことで、最終的な積分の結果を求めることができます。
まとめ
本記事では、円|z-i|=2に沿った周回積分について、積分経路Cの設定、積分式の極、そしてこれらの図示方法を説明しました。また、留数定理を使用して積分を解く方法についても触れました。複素平面上での積分問題を解くためには、経路と極の位置関係を正しく理解することが重要です。
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