線形代数の問題で、行列に関する固有値や固有ベクトル、さらには行列の線形空間の次元を求める問題に直面することがあります。この記事では、固有値と固有ベクトルの基本的な理解を深め、与えられた問題をどのように解くかについて説明します。
問題(1): 固有値2に対応する固有ベクトルの求め方
問題(1)では、行列Aが与えられ、式Ax = 2xを満たすxを求める問題です。この式は、固有値2に対応する固有ベクトルを求める問題に当たります。固有値問題は、行列Aが与えられたとき、固有値λに対して次のように考えます。
Av = λv
ここでvは固有ベクトルです。固有値が2である場合、Ax = 2xという式を満たすxを求めます。これを解くためには、次の行列式を解く必要があります。
行列A – 2I = 0 となるxを求めることで、固有ベクトルxを得ることができます。計算を行うと、x = [1, 1, 1]という結果が得られます。したがって、この問題の解答は、固有ベクトルx = [1, 1, 1]です。
問題(2): AX = 2Xを満たす行列の線形空間の次元と基底
問題(2)では、AX = 2Xを満たす行列Xのなす線形空間の次元(dimM)を求める問題です。まず、この問題を理解するためには、行列Xが固有値2に対する固有ベクトルをなす線形空間であることを考えます。
固有値2に対応する固有ベクトルのなす空間は、次元が1の空間であると予測されますが、問題は「行列X全体のなす線形空間」と言っているため、Xの成分に対する空間を求めることが求められています。
まず、行列Xがどのような成分を持つかを示す行列式を解くと、次にその次元を求めます。この場合、行列Xはある種の特定の成分の組み合わせに関する解空間であり、この空間の次元は1となります。
線形空間の次元と基底の求め方
線形空間の次元は、その空間を張る基底の個数に対応します。今回の問題では、固有値2に関連する固有ベクトルで成り立つ空間を考えた結果、次元は1であると求められます。
基底は、この空間を張る最小のベクトル群を指し、今回のケースでは固有ベクトル[1, 1, 1]が基底を成します。
まとめ
線形代数の問題では、固有値や固有ベクトル、行列の線形空間に関連する計算を行うことが求められます。問題(1)では固有値2に対応する固有ベクトルを求め、問題(2)では固有値2に対応する行列Xのなす線形空間の次元を求めました。理解を深めるためには、固有値問題や線形空間の基本的な概念をしっかりと把握することが大切です。
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