円錐の表面積を求める問題に取り組む際、まずは問題の条件をしっかり把握することが重要です。この問題では、円錐が平面上で転がる際に3回転したという情報が与えられています。これを利用して円錐の表面積を求める方法を解説します。
1. 円錐の基本的な情報
問題で与えられている円錐の情報は以下の通りです：
・底面の半径が4cm
・円錐は3回転する
この情報をもとに、円錐の表面積を求めるためのステップを順を追って解説します。
2. 円錐の展開図を考える
円錐の表面積は、底面積と側面積から構成されます。まず、円錐を展開して考えます。底面は円で、その面積は以下の式で求められます：
底面積 = πr²
ここでrは半径で、問題ではr = 4cmです。したがって、底面積は π × 4² = 16π cm² となります。
3. 側面積の求め方
円錐の側面積を求めるには、円錐を展開した際の扇形の面積を考えます。円錐の半径rと高さhからスラント高さlを求め、その値を使って側面積を求めます。スラント高さlは、直角三角形を使って求めることができます：
l = √(r² + h²)
ここでは具体的な高さhが与えられていないため、問題の条件をもとに仮定し計算します。
4. 転がりによる情報を活用する
問題文にある「3回転」という情報を使って、円錐が転がることで進む距離を求めます。円錐が1回転したときに進む距離は、底面円の円周に等しいです。円周は以下の式で求められます：
円周 = 2πr = 2π × 4 = 8π cm
この距離が1回転で進む距離で、問題では3回転するので、進む距離は 8π × 3 = 24π cm となります。
5. 表面積の最終計算
円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められます。側面積を計算するためには、スラント高さlを求め、その後扇形の面積を計算する必要があります。最終的に、得られた側面積と底面積を加算して、円錐の表面積を求めることができます。
6. まとめ
この問題の解法では、円錐の基本的な表面積の求め方に加えて、転がりによって得られる情報を活用して計算を進めることが求められます。計算の途中でスラント高さや円周を正確に求めることが、問題を解決するためのカギとなります。
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