数Ⅰの問題解説: 実数xに関する条件p、qにおけるaの範囲を求める方法

この問題では、実数xに関する2つの条件pとqを元に、aの範囲を求める問題です。条件pとqが与えられたとき、aがどのような範囲であれば条件pが条件qの必要条件となるのかを考えます。

問題の整理

まず問題文の条件を整理します。

• 条件p: |x – 2| < 3
• 条件q: x² – ax – 2a² < 0
• aは正の定数である

この問題では、条件pが成立したときに、条件qが成立するためのaの範囲を求めます。

条件pの解釈と式の変形

条件p: |x – 2| < 3は絶対値を含んだ式です。これを解くと、次のように変形できます。

-3 < x - 2 < 3

両辺に2を足すと。

-1 < x < 5

よって、xは-1と5の間にあることが分かります。

条件qの解釈と式の変形

次に条件qを見てみましょう。

条件q: x² – ax – 2a² < 0です。これを条件pを使って解いていきます。まずxの範囲が-1 < x < 5であることを利用して、xがこの範囲内で成立するようなaの値を求めます。

連立不等式の解法

条件pで求めたxの範囲(-1 < x < 5)を条件qに代入します。xが-1と5の間であることを確認しながら、不等式を解きます。

まず、x = -1とx = 5の両方を条件qに代入し、aの範囲を求めると。

式を解くと、aの範囲が得られます。最終的に、aの取り得る範囲はとなります。