微分方程式の解法：yy”-(y’)^2-3xyy’=0 の解き方

微分方程式「yy” – (y’)^2 – 3xyy’ = 0」の解法について解説します。この問題は、変数分離法や適切な変数変換を使用して解くことができます。具体的なステップに分けて説明していきますので、しっかりと理解を深めていきましょう。

1. 微分方程式の確認

与えられた微分方程式は、「yy” – (y’)^2 – 3xyy’ = 0」です。ここで、yは独立変数xに関する関数であり、y’はyの1階微分、y”はyの2階微分です。この方程式の目的は、yをxの関数として解くことです。

2. 変数変換の導入

この方程式を解くためには、まず適切な変数変換を考えます。特に、y’（yの1階微分）を新たな変数と見なして整理する方法が有効です。例えば、y’ = p(x)として新しい関数p(x)を導入します。この変換により、方程式はより扱いやすくなります。

3. 変数分離法の適用

変数分離法を使って、微分方程式をxとyの関数として分離します。これにより、方程式が積分可能な形に変形され、解の探索が可能になります。具体的には、yとxに関する項をそれぞれ別々に整理し、積分によって解を得る方法を取ります。

4. 解の導出と確認

積分を行うことで、yとxの関係を示す解が得られます。解を求めた後は、元の微分方程式に代入して、解が正しいかを確認します。この過程で、解が矛盾しないことを確認することが重要です。

5. まとめ

微分方程式「yy” – (y’)^2 – 3xyy’ = 0」を解くためには、変数変換や変数分離法を適切に使用することが重要です。これにより、方程式は解ける形に整理され、最終的な解を得ることができます。解を得た後は、元の方程式に代入して、解の正当性を確認することを忘れないようにしましょう。