本記事では、数式に関する二つの問題について解説します。まず、自然数nについて√nが有理数であれば整数であることを示す方法を考察します。次に、最高次の係数が1の整数係数n次方程式において、有理数解が整数である理由について説明します。そして、最後に①と②の問題がどのように関連しているのかを探ります。
1. √nが有理数ならば整数である理由
まず、√nが有理数であると仮定します。√nが有理数であるならば、√n = a/b（a, bは整数、b ≠ 0）と表せます。これを平方すると、n = a²/b²となります。ここで、nが自然数であることから、a²がb²で割り切れる必要があります。したがって、aとbの最大公約数が1である場合、a²とb²も互いに素であるため、nは平方数でなければなりません。このため、√nが有理数であればnは必ず整数の平方、すなわち整数である必要があります。
2. 有理数解が整数である理由
次に、最高次の係数が1の整数係数n次方程式f(x) = 0が有理数解αを持つ場合、その解が整数である理由について考えます。もしαが有理数であるならば、αはp/q（p, qは互いに素な整数）と表せます。整数係数の多項式において、有理数解定理により、有理数解の分子pは定数項の約数であり、分母qは最高次の係数の約数でなければなりません。ここで、最高次の係数が1であるため、分母qは必ず1となり、解αは整数であることが示されます。
3. ①と②の問題の関連性
①と②の問題はどちらも有理数に関する性質を扱っています。①では、√nが有理数であればnが整数であることを示しており、②では有理数解が整数であることを示しています。どちらも「有理数」と「整数」の関係に焦点を当てており、特に整数係数の方程式や平方根に関連した考察が共通しています。
4. まとめ
今回の記事では、√nが有理数であればnが整数である理由、また最高次の係数が1の整数係数n次方程式における有理数解が整数である理由を解説しました。これらの問題は、整数と有理数の関係を深く理解するための良い演習となります。問題①と②の関連性についても触れましたが、どちらも有理数の性質に関連し、数学の基礎をしっかりと押さえるために重要です。
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