極方程式r=3/2+cosθの曲線Cの直交座標方程式と焦点の求め方

極座標における方程式は直交座標に変換する際に重要な技術の一つです。本記事では、極方程式r=3/2+cosθに対応する直交座標方程式の導出方法や、焦点の求め方について詳しく解説します。また、直線への垂線を使った特定のパラメータの計算方法も紹介します。

1. 極方程式r=3/2+cosθを直交座標に変換する方法

まず、極方程式r=3/2+cosθを直交座標系に変換する方法を紹介します。極座標系では、rは原点からの距離、θは原点からの角度を示します。これに対し、直交座標系では、点Pの座標(x, y)を用います。

極座標から直交座標への変換式は次の通りです。

r = √(x² + y²)

tan(θ) = y / x

また、cosθはx / rであるため、r=3/2+cosθに代入していきます。

次に、r=3/2+cosθを直交座標系で表現します。変換後の方程式は以下のように表されます。

(x+1)² / 4 + y² / 3 = 1

この方程式は、楕円の標準形です。x+1という項があるため、x軸方向に1単位だけ平行移動した楕円の形をしています。

次に、焦点の座標を求めます。楕円の焦点は、x軸方向に配置されます。この場合、焦点は原点(0, 0)と、x=-2の位置にあります。よって、求める焦点の座標は(0, 0)と(-2, 0)となります。

次に、曲線C上の点P(x, y)から直線x=aへの垂線の長さPHを求めます。ここで、k = OP / PHとおきます。Pが曲線上を動くとき、kが一定となるaの値とそのときのkの値を求めます。

解析の結果、kが一定となるaの値は3、そしてそのときのkの値は1/2です。

本記事では、極方程式r=3/2+cosθに対応する直交座標の方程式や焦点の位置、さらには特定の条件でのパラメータを求める方法について解説しました。数学における座標変換や焦点の位置を理解することは、さまざまな問題を解くための基本的なステップとなります。