√54nが整数となるとき、100に近い自然数nを求める方法

中学三年生の数学でよく出てくる「√54nが整数となるとき、もっとも100に近い自然数nを求めよ。」という問題の解き方を解説します。まずは問題を整理して、必要な計算を順を追って行っていきましょう。

1. 問題の整理

問題の式は「√54nが整数」というものです。この式が成立するためには、√54nが完全な平方数である必要があります。つまり、54nが平方数でなければならないということです。

まずは54の素因数分解をしましょう。

54 = 2 × 3² です。

したがって、√54n = √(2 × 3² × n) となります。ここでnが何かしらの値で、√54nが整数になるためには、nの値が3²や2の偶数倍を含んでいなければなりません。

√(2 × 3² × n)が整数になるためには、nに含まれる2と3の成分が偶数の倍数でなければなりません。

そのため、nの最小値は2 × 3² = 18 となります。これを使ってnを求めます。

最初に求めた最小値はn=18ですが、この値で√54nが整数となります。次に、100に近い自然数nを求めるために、nを徐々に増やしながら試していきます。

n=36、n=72、n=108などを順に試してみると、最も100に近いnはn=72です。

したがって、√54nが整数となり、もっとも100に近い自然数nは「72」であることがわかりました。