二次方程式の共通解と連立方程式の解法

この問題では、2つの二次方程式がただ一つの共通の実数解を持つ場合について考えています。具体的には、各方程式に共通の解を代入することで、どのように解くべきか、またその意味について説明します。

1. 二次方程式とその共通解

与えられた2つの二次方程式は、次のようになります。

ここで共通解を x = α とおくと、α をそれぞれの方程式に代入することで、k の値を求めることができます。

共通解 α を代入するとは、実際に x = α を各方程式に代入し、k の値がどのように決まるかを見ていくことです。これによって、k の値が特定され、α が共通解となるための条件がわかります。

例えば、方程式 1 に x = α を代入すると、次のような式が得られます：
2α² + kα + 4 = 0

同様に、方程式 2 にも x = α を代入します：
α² + α + k = 0

なぜこれらを連立方程式として解く必要があるのか？それは、α が共通解であるため、2つの方程式が同時に成り立つような k の値を見つける必要があるからです。代入した式を使うことで、k の値を求め、その結果として共通解を見つけることができます。

したがって、両方の方程式を使って連立方程式を解くことで、共通解 α と k の関係を明確にすることができます。

「αを代入した式を1つ目の方程式と2つ目の方程式で解く」方法では、どちらの方程式も同じ共通解 α を持つ条件を満たす k を求めることができます。これは、それぞれの方程式が α に対して満たすべき条件を明確にし、k の値を求める最適な方法です。

この問題を解くためには、共通解を代入して、連立方程式として解くことが必要です。それぞれの方程式の中で k の値を求め、最終的に共通解が得られるようにします。この方法によって、問題が効率的に解決されます。