積分の計算方法：∫(2x−7)/(x²−8x+17)dxの解法

積分の計算は、関数の形に応じて適切な手法を選択することが重要です。ここでは、積分 ∫ (2x−7)/(x²−8x+17) dx の解法を詳しく解説します。

1. 分母の平方完成

まず、分母の二次式 x²−8x+17 を平方完成します。
x²−8x+17 = (x−4)² + 1 となります。

次に、分子 2x−7 を適切に分解します。
2x−7 = 2(x−4) + 1 となります。

これらを用いて、積分を二つの部分に分割します。
∫ (2x−7)/(x²−8x+17) dx = ∫ [2(x−4) + 1]/[(x−4)² + 1] dx
= 2∫ (x−4)/[(x−4)² + 1] dx + ∫ 1/[(x−4)² + 1] dx

それぞれの積分を計算します。
1つ目の積分は、変数変換 u = x−4 を用いて計算できます。
2つ目の積分は、標準的な積分公式を使用します。

最終的な積分結果は、以下のようになります。
2∫ (x−4)/[(x−4)² + 1] dx + ∫ 1/[(x−4)² + 1] dx = 2arctan(x−4) + (1/2)ln((x−4)² + 1) + C

このように、積分の計算は関数の形に応じて適切な手法を選択することで、効率的に解くことができます。