数Aの場合の数の問題 - 1, 2, 3の数字を使って5桁の整数を作る方法

数Aの問題で「1, 2, 3の数字を使って5桁の整数を作る」という問題が出題されることがあります。この問題を解く際、数字を3回ずつ使うことが許されている場合、いったいどれだけの組み合わせが考えられるのでしょうか。ここでは、余事象を使わずに解く方法を解説します。

1. 問題の整理

問題では、1, 2, 3 の3つの数字を使用して、5桁の整数を作ることが求められています。それぞれの数字は最大で3回まで使って良いという条件です。したがって、1, 2, 3の各数字が何回使用されるかを考えなければなりません。

まず、5桁の整数を作るためには、合計5回の数字を選ぶ必要があります。数字の種類は1, 2, 3の3つです。それぞれの数字を3回まで使うことができるので、次のように場合分けをして考えます。

次に、上記のケースに分けて具体的に計算していきます。

この場合、まず3回使う数字を選びます。選び方は3通りです。その後、残りの2つの数字を1回ずつ使いますが、5桁の整数を作るために並べる方法は次のように計算できます。

5桁のうち3桁が同じ数字、残りの2桁は異なる数字という配置です。これを計算すると、3つの数字を並べる順番の数は。

5C3 × 2! = 10 × 2 = 20通り

この場合、まず2つの数字を選びます。選び方は3C2で3通りです。その後、2つの数字を2回ずつ使い、1つの数字を1回使います。並べ方は。

5C2 × 2! = 10 × 2 = 20通り

上記2つのケースを合わせて計算します。

20通り（ケース1） + 20通り（ケース2） = 40通り

最初の解答が210個というのは、おそらく計算ミスまたは問題設定の誤解が含まれている可能性があります。余事象を使わずに、実際にどういった計算をすべきかを理解することが重要です。今回の問題では、40通りの5桁の整数ができることが分かりました。