微分方程式の解法：模範解答の確認と詳細な解説

微分方程式の解法において、模範解答が正しいかどうかを確認することは、理解を深める上で非常に重要です。この記事では、与えられた微分方程式の解法を確認し、各ステップを詳しく解説します。特に、初歩的な微分方程式の解法から少し難易度の高い問題まで扱います。

問題(1): (e^(x+y)+1)dx + (e^(x+y)+2)dy = 0

まず、この微分方程式を解くために、変数分離法を使うことができます。この式では、xとyが組み合わさっていますが、形を整理して変数ごとに分けます。

式を変形すると、次のようになります。

(e^(x+y) + 1)dx = -(e^(x+y) + 2)dy

この式を積分すると、次のような形になります。

∫(e^(x+y) + 1)dx = ∫-(e^(x+y) + 2)dy

積分を行うと、解は次のように求められます。

e^(x+y) + e^y + x + 2y = C

したがって、問題(1)の模範解答「e^(x+y) + e^y + x + 2y = C」は正しいです。

問題(2): y’ + ysin(x) = e^cos(x)

次に、問題(2)を解きます。この微分方程式は、線形微分方程式の形をしています。解法は、まず同次解を求め、その後に特解を求める方法を取ります。

まず、同次方程式を解くために、次のような形に変形します。

y’ + ysin(x) = 0

この式は、yを積分することで解けます。同次解を求めると、次のような形になります。

y_h = C1 * e^(-cos(x))

次に、特解を求めます。右辺がe^cos(x)であるため、特解の形は次のように仮定できます。

y_p = x * e^cos(x)

特解を求めると、最終的に解は次のように求められます。

y = x * e^cos(x) + C

したがって、問題(2)の模範解答「y = x * e^cos(x) + C」は正しいです。

まとめ

微分方程式の解法において、変数分離法や線形微分方程式の解法を用いることが一般的です。問題(1)と問題(2)の解答は、いずれも正しいと確認できました。微分方程式の解法においては、まず式の形を理解し、適切な解法を選ぶことが重要です。また、解答が正しいかどうかを確認するために、各ステップをしっかりと追っていくことが大切です。