∫[-1→1] √(1+4x^2)dxの解法とステップ解説

今回は、積分問題「∫[-1→1] √(1+4x^2)dx」の解法を解説します。この問題は、定積分の一例として、平方根が含まれる式を解く方法に焦点を当てています。

問題の確認

与えられた積分は、∫[-1→1] √(1+4x^2)dxです。この積分は、xの2乗項が含まれているため、まずは積分の方法を理解することが重要です。

まず、この積分を解くために変数変換や特別な積分公式が必要です。具体的な手法としては、三角関数の置換が有効です。ここでは、x = tan(θ)の変換を使用します。変数変換を行うことで、式を簡単にし、積分を計算しやすくします。

変数変換 x = tan(θ) を適用します。すると、dx = sec^2(θ) dθ となり、式が三角関数の形に変わります。この変換を用いて積分範囲をθに置き換え、積分を再度行います。

積分を行うと、最終的に√(1+4x^2)が簡単な形に変換され、計算が進んでいきます。最終的には、積分の解が出てきます。

積分∫[-1→1] √(1+4x^2)dxを解くには、変数変換のテクニックを使用して、式を三角関数の形に変換することがカギとなります。これにより、積分の計算がスムーズに行え、最終的な解を得ることができます。