この問題は確率論と統計の分野でよく出題される問題で、Vの密度関数とその分布を求める内容です。特に、連続型確率変数UとVに関する結合密度関数を求める方法について解説します。
1. 問題の設定
与えられた確率変数XとYは独立な連続型確率変数です。それぞれの確率密度関数は次のように与えられています。
- f_X(x) = 1 / π√(1 – x²) , -1 ≦ x ≦ 1 , その他は0
- f_Y(y) = y * e^(-y² / 2) , (y ≠ 0) , その他は0
ここで、確率変数UとVが次のように定義されています。
- U = Y
- V = XY
問題は、(U, V)の結合密度関数を求め、Vの密度関数がどのような分布に従うかを示すものです。
2. 結合密度関数の求め方
(U, V)の結合密度関数を求めるには、まずUとVの関係式から逆変換を行い、Jacoobian行列を使って変換後の確率密度関数を求めます。U = Y, V = XYという式から、YとVに関する逆変換を行い、Jacoobian行列を計算します。
逆変換を行うと、U = Y、V = XYという関係から、次の変換が得られます。
- Y = U
- X = V / U
この変換を使って、UとVの結合密度関数を求めることができます。
3. Vの密度関数を求める
結合密度関数を求めた後、Vの密度関数を得るためにVについて積分を行います。Vの密度関数は、e^(-v² / 2) / √(2π)という形に求まります。この密度関数は、標準正規分布の形をしています。
Vが標準正規分布に従う理由は、Yが正規分布に従うため、V = XYが正規分布に従うためです。これは、標準正規分布に関連する確率密度関数と一致します。
4. Vの分布とその意味
Vの密度関数は、標準正規分布に従うことがわかりました。つまり、Vは平均0、分散1の正規分布を持つ確率変数です。
この結果から、Vの分布がどのように導かれるのか、またその背後にある確率論の理論について理解を深めることができます。
5. まとめ
この問題では、UとVの結合密度関数を求めることで、Vの密度関数が標準正規分布に従うことが示されました。確率変数の変換とJacoobian行列の利用が重要なステップであり、この手法を理解することが確率論の深い理解に繋がります。
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