杉浦解析における一様収束の項別積分 – 定理の解説とΣ1/n^2の求め方

杉浦解析における一様収束の項別積分の問題では、積分を級数展開して項別に積分することで、特定の値を求めることができます。この方法を使ったΣ1/n²の求め方について解説します。

1. 問題の設定

まず、問題で与えられている積分式を確認します。

この積分を、arcsin(x)を級数展開して項別に積分する方法で解くのですが、その過程でどの定理を使うかについて考えていきます。

arcsin(x)は、次のように級数展開できます。

arcsin(x) = Σ (2n-1)!! / (2n)!! * x^(2n+1) / (2n + 1)

この級数展開を積分式に代入して項別積分を行いますが、この方法には「項別積分の定理」を使用します。

項別積分に使用する定理は、「項別積分が許されるための条件」として、級数が一様収束している必要があります。この条件が満たされる場合、級数を項ごとに積分しても積分結果が同じであることが保証されます。

具体的には、級数が一様収束していれば、Σf_n(x)を積分することでΣ∫f_n(x)dxの結果と一致します。

この問題の解法では、Σ1/n²のような級数が得られます。これは、特にパワー級数の項別積分を通じて計算され、最終的にはこの級数の収束に関する結果として示されます。

結果として、Vの密度関数が得られ、これは標準正規分布に従うことが確認されます。

杉浦解析の一様収束の項別積分では、級数展開と項別積分の定理を使って問題を解きます。項別積分を使うためには、級数が一様収束していることが重要であり、その後の計算でΣ1/n²の結果を得ることができます。この解法を通じて、一様収束の概念とその重要性を理解することができます。