確率問題の解法:大当たりとその確率計算

高校数学

数学の確率問題において、くじ引きの問題はよく出題されます。この問題では、袋に入った当たりくじと外れくじを引くときの確率について考えます。特に、複数人がくじを引いたときに「大当たり」が発生する確率を求める問題です。この記事では、質問にある確率問題を詳しく解説し、その解き方を紹介します。

問題の整理とアプローチ

まず、問題の内容を整理しましょう。袋の中には、当たりくじ6本と外れくじ4本、合計10本のくじが入っています。1回のくじ引きでは、同時に2本を引きます。2本とも当たりくじを引くことを「大当たり」と呼びます。

問題は次の2つです。

  • (1) A, B, C, Dの4人が順番にくじを引き、2人以上が続けて「大当たり」とならない確率を求めよ。
  • (2) A, B, C, D, Eの5人が順番にくじを引き、そのうち2人だけが「大当たり」となる確率を求めよ。

(1) 4人がくじを引くときの「大当たり」が2人以上続けて出ない確率

まず、1回のくじ引きで「大当たり」を引く確率を求めます。2本のくじを引くので、組み合わせとして考えると、2本とも当たりくじを引く確率は次のように計算できます。

大当たりの確率 = (6/10) × (5/9) = 30/90 = 1/3

次に、A、B、C、Dの4人が順番にくじを引くとき、2人以上が続けて「大当たり」を引かない確率を求めます。これは、1人ずつ「大当たり」とならない確率を掛け合わせていく形になります。

「大当たり」とならない確率 = 1 – 1/3 = 2/3

4人が順番に引くので、2人以上が続けて大当たりを引かない確率は、次のように計算します。

確率 = (2/3) × (2/3) × (2/3) × (2/3) = 16/81 ≈ 0.198

したがって、2人以上が続けて「大当たり」とならない確率は約20/27となります。

(2) 5人のうち2人だけが「大当たり」となる確率

次に、A、B、C、D、Eの5人がくじを引くとき、2人だけが「大当たり」となる確率を求めます。この問題では、くじを引いた後、引いたくじは袋に戻さないことに注意が必要です。

まず、2人だけが「大当たり」となる確率は、以下のように計算できます。

「大当たり」の確率 = (6/10) × (5/9) = 1/3

2人だけが「大当たり」を引く場合、残りの3人は「大当たり」を引かない確率である必要があります。そのため、残りの3人の「大当たり」を引かない確率は、次のように計算されます。

「大当たり」を引かない確率 = 1 – 1/3 = 2/3

次に、2人が「大当たり」を引く順番を決める方法を考えます。5人の中から2人を選ぶ方法は、組み合わせを使って計算できます。

組み合わせの数 = C(5,2) = 5! / (2!3!) = 10

したがって、2人だけが「大当たり」となる確率は次のように計算されます。

確率 = 10 × (1/3)² × (2/3)³ = 10 × (1/9) × (8/27) = 4/7

まとめ

確率問題における「大当たり」の計算では、組み合わせや確率の掛け算を利用して解くことが重要です。問題(1)では「大当たり」が2人以上続かない確率を求め、問題(2)では5人のうち2人だけが「大当たり」となる確率を求めました。それぞれの計算方法をしっかり理解することで、確率問題を効率よく解けるようになります。

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