この問題では、赤玉8個と白玉4個の合計12個の玉が入った袋から3個の玉を同時に取り出す場合の確率を求めています。具体的には、(1) 3個とも同じ色の玉である確率、(2) 赤玉も白玉も含まれる確率を求めます。ここでは、その解法と計算手順について詳しく解説します。
1. 可能な組み合わせの総数
まず、玉の取り出し方を計算するためには、全ての組み合わせを考える必要があります。12個の玉から3個を選ぶ組み合わせの総数は、組み合わせの公式を使用して計算できます。
組み合わせの公式は「nCr = n! / (r!(n – r)!)」で、ここではn = 12、r = 3です。これを計算すると、
12C3 = 12! / (3!(12 – 3)!) = 12 × 11 × 10 / (3 × 2 × 1) = 220通りとなります。
2. (1) 3個とも同じ色の玉を取り出す確率
3個とも同じ色の玉を取り出す場合、赤玉または白玉だけを選ぶ必要があります。
赤玉8個から3個を選ぶ組み合わせは、8C3 = 8! / (3!(8 – 3)!) = 8 × 7 × 6 / (3 × 2 × 1) = 56通りです。
白玉4個から3個を選ぶ組み合わせは、4C3 = 4! / (3!(4 – 3)!) = 4通りです。
したがって、3個とも同じ色の玉を取り出す場合の組み合わせは、赤玉の56通りと白玉の4通りを合わせた60通りとなります。
この場合の確率は、60 / 220 = 0.2727、つまり約27.27%となります。
3. (2) 赤玉も白玉も含まれる確率
次に、赤玉も白玉も含まれる場合の確率を求めます。これは赤玉2個と白玉1個、または赤玉1個と白玉2個を選ぶ場合です。
赤玉8個から2個、白玉4個から1個を選ぶ場合の組み合わせは、8C2 × 4C1 = (8 × 7 / 2 × 1) × 4 = 28 × 4 = 112通りです。
また、赤玉8個から1個、白玉4個から2個を選ぶ場合の組み合わせは、8C1 × 4C2 = 8 × (4 × 3 / 2 × 1) = 8 × 6 = 48通りです。
したがって、赤玉と白玉が両方含まれる場合の組み合わせは、112 + 48 = 160通りとなります。
この場合の確率は、160 / 220 = 0.7272、つまり約72.73%となります。
4. まとめ
この問題では、次の2つの確率を求めました。
- 3個とも同じ色の玉を取り出す確率: 約27.27%
- 赤玉も白玉も含まれる確率: 約72.73%
このように、組み合わせの計算を使って確率を求める方法は、確実に問題を解くための有効な手段です。数学的な理解を深め、確率問題に挑戦していきましょう。
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