2次関数y=3x²-5x+2のグラフとx軸との共有点の数を理解する

2次関数のグラフとx軸との共有点の数を求める問題では、方程式の解を求めることが重要です。具体的に、y=3x²-5x+2という2次関数とx軸の交点を求めるためには、この関数をx軸との交点として解く必要があります。

2次関数とx軸の交点

2次関数のグラフは放物線の形をしており、このグラフがx軸と交わる点は、y=0となるxの値、つまり方程式を解いて求めます。具体的には、y=3x²-5x+2をy=0として解きます。

これにより、方程式は3x² – 5x + 2 = 0となります。この方程式を解くことによって、x軸との交点が求められます。

2次方程式の解の個数は、判別式を使って簡単に判断できます。2次方程式ax² + bx + c = 0の判別式は、Δ = b² – 4acで求めます。ここで、a=3, b=-5, c=2なので、判別式は次のように計算できます。

Δ = (-5)² – 4(3)(2) = 25 – 24 = 1

判別式Δが正の場合、2つの実数解があり、グラフはx軸と2点で交わることがわかります。したがって、y=3x² – 5x + 2のグラフはx軸と2点で交わることになります。

次に、実際に解を求めてみましょう。判別式Δが1であるため、解の公式を使ってxの値を求めます。

x = (-b ± √Δ) / 2a = (5 ± √1) / 6 = (5 ± 1) / 6

この結果から、x = (5 + 1) / 6 = 6 / 6 = 1またはx = (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2/3となります。

y=3x² – 5x + 2のグラフはx軸と2点で交わり、交点はx = 1およびx = 2/3の2つの点です。このように、2次方程式の判別式を使って交点の数を確認することができ、解の公式を用いて具体的な交点を求めることができます。