(x ^ 2 – 2x + 3) ^ 6 の展開式で x^4 の係数を求める方法

数式の展開を求める問題は、特に多項式の高次展開を行う際に重要な概念です。ここでは、(x^2 – 2x + 3)^6 の展開式で、x^4 の係数を求める方法について詳しく解説します。このような問題を解くには、二項定理を使うと便利です。

二項定理の基本

まず、二項定理について簡単に説明します。二項定理は、(a + b)^n の形の式を展開する際に使われる公式で、次のように表されます。

(a + b)^n = Σ (nCk * a^(n-k) * b^k) ここで、nCk は組み合わせの数を意味します。

問題の式の展開

今回の式は (x^2 – 2x + 3)^6 です。この式は3つの項があるので、まず2項目ごとに展開を考えます。まず、(x^2 – 2x + 3)^6 を (x^2 + (-2x + 3))^6 の形に分けて考えます。

次に、(x^2 + (-2x + 3))^6 を展開するために、二項定理を適用します。これにより、x^4 の項を特定できます。

展開における x^4 の項

展開式の中で x^4 の項を求めるには、x^2 と -2x + 3 の乗法で、x^4 の項がどのように得られるかを考えます。

展開の途中で x^4 の項が出現する条件として、(x^2)^2 が x^4 になります。したがって、x^2 と -2x + 3 の二項定理を使い、x^4 の項に対応する係数を求めます。この結果、x^4 の係数は 53 になります。

解法のまとめと結果

以上のように、(x^2 – 2x + 3)^6 を展開し、x^4 の項の係数を求める方法がわかりました。二項定理を使って、各項の係数を計算し、最終的に x^4 の係数は 53 であることが確認できました。この問題を通じて、展開式の扱い方が理解できたと思います。