狭義の単調増加と広義の単調増加の違い：数学的な理解と例を解説

数学における「単調増加」という概念は、関数の性質を表す上で非常に重要です。特に、「狭義の単調増加」と「広義の単調増加」には微妙な違いがあります。この記事では、これらの定義とその違いを明確にし、実際の関数を使って解説します。

1. 狭義の単調増加と広義の単調増加の定義

「狭義の単調増加」関数は、区間内の任意の2点について、a < bならばf(a) < f(b)が成り立つ関数です。一方、「広義の単調増加」関数は、a < bならばf(a) <= f(b)が成り立つ関数です。狭義の単調増加では、厳密にf(a) < f(b)でなければならないのに対し、広義の単調増加ではf(a)とf(b)が等しい場合でも許容されます。

2. f'(x) > 0 と狭義の単調増加の関係

狭義の単調増加が成り立つための十分条件は、導関数f'(x) > 0であることです。すなわち、f'(x) > 0であれば、その関数は狭義の単調増加となります。しかし、逆は必ずしも成り立ちません。f'(x) = 0が成立する点があっても、関数が狭義の単調増加である場合があります。

3. 実例：f(x) = x^3 の場合

f(x) = x^3の場合、f'(x) = 3x^2 となり、x = 0ではf'(x) = 0です。しかし、f(x) = x^3は[-1, 1]の区間内で狭義の単調増加です。これは、x = 0を除く全てのxについてf(x)が単調に増加しているからです。したがって、f'(x) = 0であっても、狭義の単調増加が成り立つ例となります。

4. 狭義の単調増加と広義の単調増加の関係

広義の単調増加が成り立つための十分条件は、f'(x) >= 0です。つまり、導関数が0以上であれば、広義の単調増加が成り立ちますが、狭義の単調増加の場合、f'(x) > 0が必要です。これにより、狭義の単調増加は広義の単調増加よりも厳しい条件を課していることが分かります。

まとめ

狭義の単調増加と広義の単調増加は微妙な違いがあります。狭義の単調増加関数は、導関数が正である場合にのみ成立しますが、f'(x) = 0が一部の点で成り立つ場合でも狭義の単調増加が成り立つことがあります。また、広義の単調増加は、導関数が0以上であれば成立するため、狭義の単調増加よりも緩やかな条件となります。