5乗すると1になる複素数の求め方

5乗して1になる複素数を求める問題では、複素数のn乗根を使って解くことができます。ここではその解き方をわかりやすく説明します。

1. 複素数のn乗根とは

複素数のn乗根を求める方法は、複素数の極形式を用いて解くことが一般的です。複素数は、実部と虚部を持つ数ですが、極形式ではその数をr(cosθ + i sinθ)の形で表します。

ここでは、5乗すると1になる複素数を求める問題を考えます。この場合、目標は「1」に到達する複素数を見つけることです。まず、複素数「1」を極形式で表すと、1 = 1(cos0 + i sin0) です。

これを5乗根で表すためには、次の式を使います。

z^5 = 1

よって、z の5乗根を求めることが必要です。複素数のn乗根は次のように求めます。

z_k = r^(1/n)(cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))

ここで、r = 1（複素数「1」の絶対値）、θ = 0（角度）です。これを5乗根に適用すると、次のように式を得ます。

z_k = 1^(1/5)(cos((0 + 2kπ)/5) + i sin((0 + 2kπ)/5))

kは0から4までの整数ですので、次の5つの解が得られます。

z_0 = cos(0) + i sin(0) = 1
z_1 = cos(2π/5) + i sin(2π/5)
z_2 = cos(4π/5) + i sin(4π/5)
z_3 = cos(6π/5) + i sin(6π/5)
z_4 = cos(8π/5) + i sin(8π/5)

これらの複素数が、5乗して1になる解です。

複素数の5乗根を求めることで、5乗すると1になる複素数は5つ存在し、各解は異なる角度を持つ複素数です。これらはすべて、円周上に均等に配置された点として理解できます。

これで、5乗して1になる複素数の解き方を簡単に理解することができます。